如圖,已知等邊三角形△AEC,以AC為對角線做正方形ABCD(點B在△AEC內(nèi),點D在△AEC外).連接EB,過E作EF⊥AB,交AB的延長線為F.請猜測直線BE和直線AC的位置關(guān)系,并證明你的猜想.
分析:直線BE與直線AC的位置關(guān)系是垂直,理由為:延長EB,延長線交AC與點M,由三角形AEC為等邊三角形得到三條邊相等,可得出AE=CE,再由四邊形ABCD為正方形得到AB=CB,又EB為公共邊,利用SSS可得出三角形AEB與三角形CEB全等,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等,可得出EM為頂角平分線,由等腰三角形的三線合一得到EM垂直于AC,即可得證.
解答:直線BE與直線AC的位置關(guān)系是垂直,理由為:
證明:延長EB,延長線與AC交于點M,如圖所示:

∵△AEC為等邊三角形,四邊形ABCD為正方形,
∴AE=EC,AB=BC,
在△AEB和△CEB中,
AE=CE
AB=CB
EB=EB

∴△AEB≌△CEB(SSS),
∴∠AEB=∠CEB,即EB是∠AEC的平分線,
又EA=EC,
∴EM⊥AC,
則直線BE與直線AC的位置關(guān)系是垂直.
點評:此題考查了等邊三角形、正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),以及等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知等邊三角形ABC中,點D,E,F(xiàn)分別為邊AB,AC,BC的中點,M為直線BC上一動點,△DMN為等邊三角形(點M的位置改變時,△DMN也隨之整體移動).
(1)如圖1,當(dāng)點M在點B左側(cè)時,請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?點F是否在直線NE上?都請直接寫出結(jié)論,不必證明或說明理由;
(2)如圖2,當(dāng)點M在BC上時,其它條件不變,(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,請利用圖2證明;若不成立,請說明理由;
(3)若點M在點C右側(cè)時,請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形,并判斷(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,請直接寫出結(jié)論,不必證明或說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

23、如圖,已知等邊三角形ABC,在AB上取點D,在AC上取點E,使得AD=AE,作等邊三角形PCD,QAE和RAB,求證:P、Q、R是等邊三角形的三個頂點.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知等邊三角形△AEC,以AC為對角線做正方形ABCD(點B在△AEC內(nèi),點D在△AEC外).連接EB,過E作EF⊥AB,交AB的延長線為F.
(1)猜測直線BE和直線AC的位置關(guān)系,并證明你的猜想.
(2)證明:△BEF∽△ABC,并求出相似比.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知等邊三角形ABC的邊長為10,點P、Q分別為邊AB、AC上的一個動點,點P從點B出發(fā)以1cm/s的速度向點A運(yùn)動,點Q從點C出發(fā)以2cm/s的速度向點A運(yùn)動,連接PQ,以Q為旋轉(zhuǎn)中心,將線段PQ按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段QD,若點P、Q同時出發(fā),則當(dāng)運(yùn)動
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s時,點D恰好落在BC邊上.

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