Question

已知二次函數(shù)y=x²+2mx-n²．
（1）若此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，1），且記m，n+4兩數(shù)中較大者為P，試求P的最小值；
（2）若m、n變化時，這些函數(shù)的圖象是不同的拋物線，如果每條拋物線與坐標(biāo)軸都有三個不同的交點，則過這三個交點作圓，證明：這些圓都經(jīng)過同一定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）由二次函數(shù)過點（1，1），
得m=

n2

2

，
∴m-（n+4）=

n2

2

-（n+4），
=

1

2

（n2-2n-8），
=

1

2

（n-4）（n+2），
∴P=

n2

2

，n≤-2或n≥4；
P=n+4，-2＜n＜4，
再利用函數(shù)圖象可知，當(dāng)n=-2時，Pmin=2；

（2）圖象與坐標(biāo)軸有三個不同的交點，
可設(shè)交點坐標(biāo)為A（x₁，0）、B（x₂，0）、C（0，-n²）．
又x₁x₂=-n²，
若n=0，則與三個交點不符，
故x₁x₂=-n²＜0．
所以，x₁、x₂在原點左右兩側(cè)．
又|x₁x₂|=n²×1，
所以，存在點P0（0，1）使得|OA|•|OB|=|OP0|•|OC|．
故A、B、C、P0四點共圓，即這些圓必過定點P0（0，1）．