Question

（1998•麗水）如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AH⊥BC，H是垂足，D是BC上的點，DE⊥AB，E是垂足，DF∥AB，交AC于點F．
（1）求證：△DBE∽△ABH；
（2）設BD=x，△DEF的面積為y，寫出y關于x的函數關系式；
（3）當△DEF的面積y為最大時，求tan∠EFD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據相似三角形的判定方法即可求；
（2）y關于x的函數關系式，根據△DEF的面積=0.5ED•DF可以得出；
（3）求tan∠EFD的值，即求ED：DF的值，由△DEF的面積y為最大，得出x的值，確定ED，DF的長度．
解答：（1）證明：∵DE⊥AB，AH⊥BC
∴∠BED=∠AHB=90°
∵∠B=∠B
∴△DBE∽△ABH．

（2）解：BC=10，BH=5，AH==12，BD=x，CD=10-x，ED=x
∵DF∥AB
∴DF：AB=CD：CB
∵DF=1.3（10-x）
∴y=0.5×x×1.3（10-x）=0.6x（10-x）

（3）解：y=0.6x（10-x）=-0.6（x-5）²+15，
∵當△DEF的面積y為最大時，x=5，ED=，DF=6.5
∴tan∠EFD=ED：DF=
點評：本題考查相似三角形的判定和性質，三角形的面積公式，可利用數形結合思想根據題目提供的條件轉化為函數關系式，同時考查了三角函數的計算．