Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD、CB為⊙O的切線，D、B為切點(diǎn)，連結(jié)AD、BD，OC交⊙O于點(diǎn)E，AE交BD于G，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F．給出以下結(jié)論：
①AD∥OC；②點(diǎn)E為△CDB的內(nèi)心；③FC=FE；④EG=EF．
其中正確的是________（填編號(hào)）．

Answer 1

①②④
分析：①根據(jù)切線長(zhǎng)定理，證△COB≌△COD，可得∠DCO=∠BCO．故OC⊥BD．根據(jù)圓周角定理即可得出AD⊥BD，由此可證得AD∥OC；
②連接DE、BE；上面已證得弧DE=弧BE，根據(jù)弦切角定理以及圓周角定理相等，易求得DE、BE分別平分∠CDB和∠CBD；根據(jù)三角形內(nèi)心的定義，即可得出結(jié)論②正確；
③若FE=FC，則∠OCB=∠CEF=∠OEA=∠OAE，在Rt△OBC中，BD⊥OC，易得∠DBA=∠OCB，即∠DBA=∠EAB；因此弧BE=弧AD，而這個(gè)條件并不一定成立．故③不正確；
④根據(jù)圓周角定理得到，GF⊥BE．又由②知，BE是∠CBD的平分線，根據(jù)等腰三角形的“三合一”性質(zhì)得到EG=EF．故④正確．
解答：解：①連接OD，DE，EB．CD與BC是⊙O的切線，易證△CDO≌△CBO，則∠DCO=∠BCO．故OC⊥BD．
∵AB是直徑，
∴AD⊥BD，
∴AD∥OC，故①正確；
②∵CD是⊙O的切線，
∴∠CDE=∠DOE，而∠BDE=∠BOE，
∴∠CDE=∠BDE，即DE是∠CDB的角平分線，同理可證得BE是∠CBD的平分線，
因此E為△CBD的內(nèi)心，故②正確；
③若FC=FE，則應(yīng)有∠OCB=∠CEF，應(yīng)有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA，
∴弧AD=弧BE，而弧AD與弧BE不一定相等，故③不正確；
④如圖，∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，即GF⊥BE．
又由②知，BE是∠CBD的平分線，
∴BE是等腰△GBF的邊GF上的中垂線，則EG=EF．故④正確．
故答案是：①②④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．解題時(shí)，利用了切線長(zhǎng)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，弦切角定理，內(nèi)心的概念求解．