Question

△ABC與△ADE具有公共頂點A，∠EAD=∠CAB，AD=AC=m，∠AED+∠ABC=180°．
（1）如圖1，當AC與AD重合，∠EAD=∠CAB=60°時，猜想AE+AB與m的關系，并證明；
（2）如圖2，當AC與AD不在同一條直線上，∠EAD=∠CAB=30°，則AE+AB與m的關系為______；
（3）在（2）的基礎上，將“∠EAD=∠CAB=30°”改為“∠EAD=∠CAB=α”，探究AE+AB與m的關系，并證明．

Answer 1

解：（1）如圖（1）；
延長AE至F，使∠F=∠EAD=∠BAC，連接DF；

∵∠FED=∠ABC=180°-∠AED，∠F=∠BAC，AD=AC，
∴△EFD≌△BAC，
∴AB=EF，即AB+AE=AF；
過D作DG⊥AF于G，則AB+AE=AF=2AG；
Rt△ADG中，AG=AD•cosα=m•cosα；
∴AB+AE=2m•cosα；
當α=60°時，AB+AE=2m×=m，即AB+AE=m．

（2）當α=30°時，AB+AE=2m•cos30°，故AB+AE=m．

（3）AE+AB=2m•cosα．
證法同（1）．
分析：此題三個小題的思路是一致的，需要通過構造全等三角形來求解；首先延長AE到F，連接DF，使得∠F=∠BAC；那么可通過證△DEF≌△CBA來得到AB=EF，而∠F=∠BAC=∠DAE，即AD=DF，△ADF是等腰三角形，已知AD的長和∠EAD的度數(shù)，即可通過解直角三角形求得AF的表達式，即AE+AB的值．
點評：此題主要考查的是全等三角形的判定和性質，正確地構造出全等三角形是解題的關鍵．