Question

如圖，矩形ABCD中，BC=6，∠BAC=30°，E點為CD的中點．點P為對角線AC上的一動點．則①AC=________；②PD+PE的最小值等于________．

Answer 1

12    9
分析：①由矩形的性質(zhì)可知三角形ABC是直角三角形，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求出AC的長；
②過E作關(guān)于AC的對稱點E′，則△EE'C為等邊三角形，△DE'C為直角三角形，BC=6，則CD=6，PD+PE的最小值=DE′=CD×sin60°=9．
解答：解：①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵BC=6，∠BAC=30°，
∴AC=2BC=12，
故答案為12；
②過E作關(guān)于AC的對稱點E′，則△EE'C為等邊三角形，△DE'C為直角三角形，
∵AC=12，BC=6，
∴AB=DC==6，
∴PD+PE的最小值=DE′=CD×sin60°=9．
故答案為9．
點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半以及勾股定理的運用和最短路線問題：凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．