Question

已知二次函數(shù)y＝x²－x＋c.

(1)若點A(－1，n)，B(2,2n－1)在二次函數(shù)y＝x²－x＋c的圖象上，求此二次函數(shù)的最小值；

(2)若點D(x₁，y₁)，E(x₂，y₂)，P(m，m)(m＞0)在拋物線y＝x²－x＋c上，且D，E兩點關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，連接PO，當(dāng)2≤PO≤＋2時，試判斷直線DE與拋物線y＝x²－x＋c＋的交點個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

解：(1)法1：由題意得 　　　　　　　　　　　　　　　

解得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

法2：∵拋物線y＝x²－x＋c的對稱軸是x＝，

且－(－1) ＝2－，∴A，B兩點關(guān)于對稱軸對稱.

∴n＝2n－1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴n＝1，c＝－1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴有 y＝x²－x－1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

＝(x－)²－.

∴二次函數(shù)y＝x²－x－1的最小值是－.　　　　　　　　　　　　　　　

(2)∵點P(m，m)(m＞0)，

∴PO＝m.

∴2≤m≤＋2.

∴2≤m≤1＋.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

法1：∵點P(m，m)(m＞0)在二次函數(shù)y＝x²－x＋c的圖象上，

∴m＝m²－m＋c，即c＝－m²＋2m.

∵開口向下，且對稱軸m＝1，

∴當(dāng)2≤m≤1＋時，

有 －1≤c≤0.(6分)

法2：∵2≤m≤1＋，

∴1≤m－1≤.

∴1≤(m－1)²≤2.

∵點P(m，m)(m＞0)在二次函數(shù)y＝x²－x＋c的圖象上，

∴m＝m²－m＋c，即1－c＝(m－1)².

∴1≤1－c≤2.

∴－1≤c≤0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵點D，E關(guān)于原點成中心對稱，

法1：∴x₂＝－x₁，y₂＝－y₁.

∴

∴2y₁＝－2x₁，y₁＝－x₁.

設(shè)直線DE：y＝kx.

有 －x₁＝kx₁.

由題意，存在x₁≠x₂.

∴存在x₁，使x₁≠0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴k＝－1.

∴直線DE：y＝－x.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

法2：設(shè)直線DE：y＝kx.

則根據(jù)題意有 kx＝x²－x＋c，即x²－(k＋1)x＋c＝0.

∵－1≤c≤0，

∴(k＋1)²－4c≥0.

∴方程x²－(k＋1)x＋c＝0有實數(shù)根.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵x₁＋x₂＝0，

∴k＋1＝0.

∴k＝－1.

∴直線DE：y＝－x.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

若 則有 x²＋c＋＝0.

即 x²＝－c－.

①當(dāng)－c－＝0時，即c＝－時，方程x²＝－c－有相同的實數(shù)根，

即直線y＝－x與拋物線y＝x²－x＋c＋有唯一交點；　　　　　　　　　　

②當(dāng)－c－＞0時，即c＜－時，即－1≤c＜－時，

方程x²＝－c－有兩個不同實數(shù)根，

即直線y＝－x與拋物線y＝x²－x＋c＋有兩個不同的交點；　　　　　　　

③當(dāng)－c－＜0時，即c＞－時，即－＜c≤0時，

方程x²＝－c－沒有實數(shù)根，

即直線y＝－x與拋物線y＝x²－x＋c＋沒有交點.