Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D在AC上，以DC為直徑的半圓O切AB于E．F在CE上，CF：EF=1：3，OF=1，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

解：連接OE，過(guò)O作OH⊥CE于H，
∴EH=CH，
∵CF：EF=1：3，
∴FH=CF，
∵AB是⊙O的切線，
∴OE⊥AB，
即∠AEO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOA=60°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=∠EOA=30°，
設(shè)OH=x，
則OC=2x，CH=OC•cos∠OCE=x，
∴FH=x，
在Rt△OFH中，OF²=OH²+FH²，
即1=x²+（x）²，
解得：x=，
∴OE=OC=，
∴OA=2OE=，
∴AC=，
∴BC=AC•tan∠A=×=．
分析：首先連接OE，過(guò)O作OH⊥CE于H，由垂徑定理與CF：EF=1：3，易得FH=CF，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB是⊙O的切線，易求得∠OCE=30°，然后設(shè)OH=x，利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得OC的長(zhǎng)，繼而求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的知識(shí)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．