Question

如圖，P、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，⊙O經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，A是⊙O上一點(diǎn)，連接PA，且∠PAB=∠C，PA=5，PB=3．
（1）判斷PA是否是⊙O的切線(xiàn)，并說(shuō)明理由
（2）判斷AC與AB有什么樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）如圖，作輔助線(xiàn)，證明∠PAB+∠BAQ=90°，即可解決問(wèn)題．
（2）首先運(yùn)用切割線(xiàn)定理求出PC的長(zhǎng)度，然后證明△PAB∽△PCA，列出比例式即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）連接AO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)Q；連接BQ：
則∠ABQ=90°，∠BAQ+∠AQB=90°，
∵∠PAB=∠C，∠Q=∠C，
∴∠PAB+∠BAQ=90°，
即OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切線(xiàn)．
（2）∵PA是⊙O的切線(xiàn)，
∴PA²=PB•PC，PA=5，PB=3，
∴PC=

25

3

；
∵∠PAB=∠C，∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴AB：AC=PA：PC=3：5．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了切線(xiàn)的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，靈活運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、推理或解答．