Question

已知：△ABC的高BD、CE相交于點O，M、N分別為BC、ED的中點．
求證：MN垂直平分DE．

Answer 1

證明：連接EM，DM，如圖所示：

∵BD，CE為△ABC的兩條高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
在Rt△BEC中，M為斜邊BC的中點，
∴EM=BC，
同理在Rt△BDC中，M為斜邊BC的中點，可得DM=BC，
∴EM=DM，
∴M在線段ED的垂直平分線上，
又N為ED的中點，
∴N也在線段ED的垂直平分線上，
∴MN垂直平分ED．
分析：連接EM，DM，由BD與CE為三角形ABC的兩條高，可得三角形BEC與三角形BDC為直角三角形，根據(jù)M為BC的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EM為BC的一半，DM也為BC的一半，等量代換可得EM=DM，根據(jù)線段垂直平分線的逆定理得到M在線段ED的垂直平分線上，又N為ED的中點，可得N也在DE的垂直平分線上，即MN垂直平分ED，得證．
點評：此題考查了直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，以及線段垂直平分線的逆定理，利用了轉(zhuǎn)化的思想，其中連接出如圖所示的輔助線是解本題的關(guān)鍵．