Question

如圖15，在△ABC中，BC=12，AB=10，sinB=, 動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AB向點(diǎn)B 運(yùn)動(dòng)，DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，以DE為邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形DEFG．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，

（1）t為何值時(shí)，正方形DEFG的邊GF在BC上；

（2）當(dāng)GF運(yùn)動(dòng)到△ABC外時(shí)， EF、DG分別與BC交于點(diǎn)P、Q，是否存在時(shí)刻t，使得△CEP與△BDQ的面積之和等于△ABC面積的？

（3）設(shè)△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為S，試求S的最大值．

Answer 1

過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高AM，垂足為M，交DE于N．

∵AB=10，sinB=，∴AM= AB sinB= 6，

∵DE∥BC，△ADE∽△ABC,

∴，即，

   ∴DE=t，AN=t，MN=6﹣t，

（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，如圖①，

DE=DG=MN，即t=6﹣t，∴t=，

∴當(dāng)t=時(shí)，正方形DEFG的邊GF在BC上．……………4分

(2) 當(dāng)GF運(yùn)動(dòng)到△ABC外時(shí)，如圖②，

   S_△CEP+ S_△BDQ=

               =

    S_△ABC=

    令，

解得t₁=15（舍去），t₂=5，

    ∴當(dāng)t=5時(shí)，△CEP與△BDQ的面積之和等于△ABC面積的．…………8分

（3）分兩種情況：

①當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，如圖14，

S=DE²=(t)²=t²，此時(shí)t的范圍是0≤t≤，

   當(dāng)t=時(shí)，S的最大值為16．

②當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，

如圖②，S=DE•MN=t(6﹣t)=﹣t²+t，此時(shí)t

的范圍是<t≤10，

  ∵﹣<0，∴ 當(dāng)t=5時(shí)，S的最大值為18，

∵18>16，∴S的最大值為18．