Question

已知點A在直角坐標(biāo)系中如圖：
（1）寫出A點的坐標(biāo)，作A點關(guān)于x軸的對稱點A'，連接OA，并求sin∠OAA'的值．
（2）若直線y=mx+3n和雙曲線y=

2m+4n

x

都經(jīng)過A點關(guān)于x軸的對稱點A'，試求m、n的值，并求直線與雙曲線的另一個交點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點關(guān)于x軸的對稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，求出A′點的坐標(biāo)，再由三角函數(shù)求出sin∠OAA'的值．
（2）由直線和雙曲線的交點，列方程組求出m、n的值，從而求出另一個交點．

解答：解：（1）A（1，-2）
作AB⊥OX交x軸于點B，并延長到A′是BA′=BA，則A′是A關(guān)于x軸的對稱點，連接OA如圖，在Rt△ABO中，OB=1，AB=2，
則OA=

AB2+OA2

=

5

，sin∠OAA'=

OR

OA

=

1

5

=

5

5

；

（2）點A關(guān)于x軸的對稱點A′（1，2），
由題意得

m+3n=2① 2m+4n=2②

，
①×2-②得：2n=2，n=1，
把n=1代入①得：m=-1，
直線為：y=-x-3    ③，
雙曲線為y=

2

x

④
由③④得：-x+3=

2

x

，x²-3x+2=0，
解得：x₁=1，x₂=2，
當(dāng)x=2時，y=1，∴直線與雙曲線的另一個交點為（2，1）．

點評：本題綜合考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的應(yīng)用，題中運(yùn)用點的對稱和方程組的方法解決三角函數(shù)問題．