Question

平行四邊形ABCD中，AB=2cm，BC=12cm，∠B=45°，點P在邊BC上，由點B向點C運動，速度為每秒2cm，點Q在邊AD上，由點D向點A運動，速度為每秒1cm，連接PQ，設(shè)運動時間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時，四邊形ABPQ為平行四邊形；
（2）設(shè)四邊形ABPQ的面積為ycm²，請用含有t的代數(shù)式表示y的值；
（3）當(dāng)P運動至何處時，四邊形ABPQ的面積是?ABCD面積的四分之三？

Answer 1

解：（1）由已知可得：BP=2t，DQ=t，
∴AQ=12-t．
∵四邊形ABPQ為平行四邊形，
∴12-t=2t，
∴t=4，
∴t=4秒時，四邊形ABPQ為平行四邊形；

（2）過A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∵AB=2，∠B=45°
∴AE=AB=
∴SABPQ=（BP+AQ）×AE=（12+t），
即y=（12+t）；

（3）有（2）得S?ABCD=12，
∵×12=（12+t），
∴t=6，
∴BP=2t=12=BC，
∴當(dāng)P與C重合時，四邊形ABPQ的面積是?ABCD面積的四分之三．
分析：（1）因為在平行四邊形ABCD中，AQ∥BP，只要再證明AQ=BP即可，即點P所走的路程等于Q點在邊AD上未走的路程．
（2）因為四邊形ABPQ是梯形，梯形的面積公式（上底+下底）×高÷2，AQ和BP都能用含有t的字母表示出來，缺少高，過A點作BC邊上的高，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件求出高線即可．
（3）因為平行四邊形ABCD的面積可求，利用（2）中的關(guān)系式列方程即可．
點評：本題考查了平行四邊形的判斷方法：有一對對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，梯形的面積公式；等腰直角三角形的性質(zhì)；和用代數(shù)方法（列方程）解決幾何問題；動點問題，綜合性很強．