Question

如圖，已知：等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且AD=AE=2．點(diǎn)F從點(diǎn)B開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．當(dāng)t＞0時(shí)，直線FD與過(guò)點(diǎn)A且平行于BC的直線相交于點(diǎn)G，GE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，AB與GH相交于點(diǎn)O．
（1）用t的代數(shù)式表示AG；
（2）設(shè)△AGE的面積為S，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)？

Answer 1

解：（1）∵AG∥BC，
∴△ADG∽△BDF，
∴，
又∵AD=2，DB=4，BF=t，
∴；
（2）作EK⊥AG，垂足為K，
∵∠CAK=∠ACB=60°，
∴，
；
（3）①當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，若點(diǎn)F、點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)，
則BF=FC=CH，BC=6，BF=3，
即當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)F、點(diǎn)C是BH的三等分點(diǎn)；
②當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若點(diǎn)F、點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)，
則BC=CF=FH，CF=6，BF=12，
即當(dāng)t=12時(shí)，點(diǎn)F、點(diǎn)C是BH的三等分點(diǎn)．
分析：（1）根據(jù)平行線AG∥BC截線段成比例證得△ADG∽△BDF，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例知，從而求得AG=t；
（2）作輔助線EK⊥AG構(gòu)造直角三角形AEK，然后在直角三角形中求EK的長(zhǎng)度；
（3）需分類(lèi)討論：①當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，若點(diǎn)F、點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)；②當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若點(diǎn)F、點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定．在解答第（3）題時(shí)，要分類(lèi)討論，以防漏解．