Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖一，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖二，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）如答圖1，四邊形ABPC由△ABC與△PBC組成，△ABC面積固定，則只需要使得△PBC面積最大即可．求出△PBC面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值；
（3）如答圖2，DE為線段AC的垂直平分線，則點(diǎn)A、C關(guān)于直線DE對(duì)稱．連接AM，與DE交于點(diǎn)G，此時(shí)△CMG的周長=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點(diǎn)G為所求．分別求出直線DE、AM的解析式，聯(lián)立后求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點(diǎn)．
∴

a-b+c=0 4a+2b+c=0 c=2

，解得

a=-1 b=1 c=2

，
∴這條拋物線的解析式為：y=-x²+x+2．

（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，將B（2，0）、C（0，2）代入得：

2k+b=0 b=2

，解得

k=-1 b=2

，
∴直線BC的解析式為：y=-x+2．
如答圖1，連接BC．
四邊形ABPC由△ABC與△PBC組成，△ABC面積固定，則只需要使得△PBC面積最大即可．
設(shè)P（x，-x²+x+2），
過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，則F（x，-x+2）．
∴PF=（-x²+x+2）-（-x+2）=-x²+2x．
S_△PBC=S_△PFC+S_△PFB=

1

2

PF（x_F-x_C）+

1

2

PF（x_B-x_F）=

1

2

PF（x_B-x_C）=PF
∴S_△PBC=-x²+2x=-（x-1）²+1
∴當(dāng)x=1時(shí)，△PBC面積最大，即四邊形ABPC面積最大．此時(shí)P（1，2）．
∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，四邊形ABPC的面積最大．

（3）存在．
∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，
∴∠ACO=∠AED，又∵∠CAO=∠CAO，
∴△AOC∽△ADE，
∴

AE

AC

=

AD

AO

，即

AE

5

=

5 2

1

，解得AE=

5

2

，
∴E（

3

2

，0）．
∵DE為線段AC的垂直平分線，
∴點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴D（-

1

2

，1）．
可求得直線DE的解析式為：y=-

1

2

x+

3

4

 ①．
∵y=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

，∴M（

1

2

，

9

4

）．
又A（-1，0），則可求得直線AM的解析式為：y=

3

2

x+

3

2

 ②．
∵DE為線段AC的垂直平分線，
∴點(diǎn)A、C關(guān)于直線DE對(duì)稱．
如答圖2，連接AM，與DE交于點(diǎn)G，
此時(shí)△CMG的周長=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點(diǎn)G為所求．
聯(lián)立①②式，可求得交點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-

3

8

，

15

16

）．
∴在直線DE上存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長最小，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-

3

8

，

15

16

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，難度適中，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、相似三角形、軸對(duì)稱-最短路線、圖形面積計(jì)算、最值等知識(shí)點(diǎn)．