Question

如圖，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中點(diǎn)，以CD長(zhǎng)為直徑作圓，交BC于E，過(guò)E作EH⊥AB于H．EH=CD，
（1）求證：OE∥AB；
（2）求證：AB是⊙O的切線；
（3）若BE=4BH，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)可以判斷出∠B=∠OEC，然后由同位角相等得出OE∥AB；
（2）作輔助線（過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O作OG∥BC交AB于點(diǎn)G）構(gòu)建平行四邊形OEHF，然后由“平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)”、已知條件求得OF=EH=CD，即OF是⊙O的半徑；最后根據(jù)切線的判定得出結(jié)論；
（3）求出△EHB∽△DEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理解答．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，
∴AB=CD，∠B=∠C；
又∵CD是直徑，點(diǎn)O是腰CD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)O是圓心，
∴OE=OC，
∴∠OEC=∠C（等邊對(duì)等角），
∴∠OEC=∠B（等量代換），
∴OE∥AB（同位角相等，兩直線平行）；

（2）證明：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F．
∵由（1）知，OE∥AB，
∴OE∥FH；
又∵EH⊥AB，
∴FO∥HE，
∴四邊形OEHF是平行四邊形（有兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形），
∴OF=EH（平行四邊形的對(duì)邊相等）；
∵EH=CD，
∴OF=CD，即OF是⊙O的半徑，
∴AB是⊙O的切線；

（3）解：連接DE．
∵CD是直徑，
∴∠DEC=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），則∠DEC=∠EHB，
又∵∠B=∠C，
∴△EHB∽△DEC，
∴=；
∵BE=4BH，
∴設(shè)BH=k，則BE=4k，EH==k；
∴CD=2EH=2k
∴===．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形、矩形解決有關(guān)問(wèn)題．