Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），C（2，﹣3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于另一點(diǎn)B．

（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若將此拋物線平移，使其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，需如何平移？寫出平移后拋物線的解析式；
（3）過(guò)點(diǎn)P（m，0）作x軸的垂線（1≤m≤2），分別交平移前后的拋物線于點(diǎn)E，F(xiàn)，交直線OC于點(diǎn)G，求證：PF=EG．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入y= x2+bx+c，

得： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣2，

∵y= x2﹣ x﹣2= （x﹣ ）2﹣ ，

∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（ ， ）

（2）解：∵y= x2﹣ x﹣2，

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2）．

∵將點(diǎn)（ ， ）向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到點(diǎn)D，

∴將y= x2﹣ x﹣2向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，

此時(shí)平移后的拋物線解析式為：y= x2﹣2

（3）證明：設(shè)直線OC的解析式為y=kx，

∵C（2，﹣3），

∴2k=﹣3，解得k=﹣ ，

∴直線OC的解析式為y=﹣ x．

當(dāng)x=m時(shí)，yF= m2﹣2，則PF=﹣（ m2﹣2）=2﹣ m2，

當(dāng)x=m時(shí)，yE= m2﹣ m﹣2，yG= ，

則EG=yG﹣yE=2﹣ ，

∴PF=EG．

【解析】（1）將A、C坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，建立二元一次方程組，求出b、c的值，就可以求出此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）此題考查了二次函數(shù)的平移，平移后的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2）．看得到平移后的函數(shù)解析式。圖像平移前頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，- ），將圖像平移就是將圖像上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)移，將點(diǎn)（ ，- ）向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到點(diǎn)D（0，﹣2），可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意可知PE垂直于x軸，可知P、F、G三點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)P（m,0），點(diǎn)F在拋物線∵y= x2﹣2上，所以點(diǎn)F（m, m2﹣2），就可以用含m的代數(shù)式表示出PF=0-（m2﹣2）=2-m2，點(diǎn)G在直線OC上，求出直線OC的函數(shù)解析式為y=﹣ x，所以就點(diǎn)G（m,-m）點(diǎn)E在拋物線y= x2﹣ x﹣2上，E（m, m2﹣ m﹣2）,可以用含m的代數(shù)式表示出FG=﹣ m-（m2﹣ m﹣2）=2-m2，可得PF=EG．
【考點(diǎn)精析】掌握確定一次函數(shù)的表達(dá)式和二次函數(shù)圖象的平移是解答本題的根本，需要知道確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法；平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對(duì)x軸左加右減；對(duì)y軸上加下減．