Question

已知二次函數y＝x²－2(m－1)x＋m²－2m－3，其中m為實數．

(1)求證不論m取何實數，這個二次函數的圖像與x軸必有兩個交點；

(2)設這個二次函數的圖像與x軸交于點A(x₁，0)B(x₂，0)，且x₁、x₂的倒數和為，求這個二次函數的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵y＝x2－2(m－1)x＋m2－2m－3， 　　當y＝0時，x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0， 　　Δ＝4(m－1)2－4(m2－2m－3)＝16＞0， 　　∴方程有兩個實數根，∴不論m為何實數，這個二次函數的圖像與x軸必有兩個交點． 　　(2)由題意知＋＝， 　　又x1＋x2＝2(m－1)，x1x2＝m2－2m－3， 　　∴＋＝＝＝． 　　∴2m2－4m－6＝6(m－1)，解得m1＝0，m2＝5． 　　∴函數解析式為y＝x2＋2x－3或y＝x2－8x＋12．