Question

如圖：已知四邊形ABCD，∠BAD=120°，CB⊥AB，CD⊥AD且AB=AD=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，那么△AEF的周長(zhǎng)最短是

6

3

．

Answer 1

分析：延長(zhǎng)AB至M，使AB=BM，延長(zhǎng)AD至N，使AD=DN，分別交BC于E，DC于F，則BC，CD是AM和AN的垂直平分線，由此得到AE=ME，AF=FN，則此時(shí)△AEF的周長(zhǎng)最短為MN的長(zhǎng)，問題得解．

解答：解：延長(zhǎng)AB至M，使AB=BM，延長(zhǎng)AD至N，使AD=DN，分別交BC于E，DC于F，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴BC，CD是AM和AN的垂直平分線，
∴AE=ME，AF=FN，
∵△AEF的周長(zhǎng)=AE+AF+EF=ME+EF+FN=MN，
∴此時(shí)△AEF的周長(zhǎng)最短為線段MN的長(zhǎng)，
∵AB=AD=3，
∴AM=AN，
∵∠BAD=120°，
∴∠M=∠N=30°，
∴MN=2AM•cos30°=12×

3

2

=6

3

，
故答案為6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)值以及軸對(duì)稱-最短路線問題，解題的關(guān)鍵是正確的確定E，F(xiàn)點(diǎn)的位置，題目的設(shè)計(jì)很新穎，是一道不錯(cuò)的中考題．