【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A是y軸上一點(diǎn),其坐標(biāo)為(0,6),點(diǎn)B在x軸的正半軸上.點(diǎn)P,Q均在線段AB上,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)大于m,在△PQM中,若PM∥x軸,QM∥y軸,則稱△PQM為點(diǎn)P,Q的“肩三角形.
(1)若點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0),且m=2,則點(diǎn)P,B的“肩三角形”的面積為 ;
(2)當(dāng)點(diǎn)P,Q的“肩三角形”是等腰三角形時(shí),求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,作過O,P,B三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c
①若M點(diǎn)必為拋物線上一點(diǎn),求點(diǎn)P,Q的“肩三角形”面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍.
②當(dāng)點(diǎn)P,Q的“肩三角形”面積為3,且拋物線y=ax2+bx+c與點(diǎn)P,Q的“肩三角形”恰有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),直接寫出m的取值范圍.
【答案】(1)3;(2)(6,0);(3)①S=2m2﹣12m+18(0<m<3);②m=3﹣或3≤m≤6﹣.
【解析】
(1)先利用待定系數(shù)法求出直線AB解析式,進(jìn)而可得點(diǎn)P、M坐標(biāo),然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可;
(2)根據(jù)題意可得MP=MQ,∠PMQ=90°,進(jìn)而可得OB與OA的關(guān)系,問題即得解決;
(3)①因?yàn)?/span>M點(diǎn)必為拋物線上一點(diǎn),所以可先確定自變量m取值范圍,然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的表達(dá)式,由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O,B兩點(diǎn),根據(jù)拋物線的對稱性可確定拋物線的對稱軸,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)后即得點(diǎn)Q的坐標(biāo),進(jìn)而可求得PM的長,進(jìn)一步即可求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸左側(cè),利用①中的關(guān)系式即可求出m的值;當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸上或?qū)ΨQ軸右側(cè)時(shí),由“肩三角形”面積為3可求出PQ的長,于是可用m的代數(shù)式表示出Q、M的坐標(biāo),進(jìn)一步即得關(guān)于m的不等式組,解不等式組即得結(jié)果.
解:(1)如圖1,∵A(0,6),B(4,0),
∴直線AB解析式為y=﹣x+6,
∵m=2,∴P(2,3),
∵PM∥x軸,BM∥y軸,
∴M(4,3),∠PMB=90°,
∴PM=2,BM=3,
∴點(diǎn)P,B的“肩三角形”△PBM的面積=PMBM=×2×3=3;
(2)如圖2,根據(jù)題意,得MP=MQ,∠PMQ=90°,
∴∠MPQ=45°,
∴∠ABO=45°,
∴OB=OA=6,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0);
(3)如圖3,①因?yàn)?/span>M點(diǎn)必為拋物線上一點(diǎn),所以自變量m取值范圍為:0<m<3,
由(2)易得,直線AB的表達(dá)式為y=6﹣x,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,6﹣m),
∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O,B兩點(diǎn),
∴拋物線的對稱軸為直線x=3,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6﹣m,6﹣m),
∴PM=(6﹣m)﹣m=6﹣2m,
S=PM2=×(6﹣2m)2=2m2﹣12m+18(0<m<3);
②當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸左側(cè),即0<<3時(shí),∵點(diǎn)P,Q的“肩三角形”面積為3,
由①得:2m2﹣12m+18=3,解得:m=3﹣(已舍去不合題意的);
當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸上或?qū)ΨQ軸右側(cè),即3≤m<6時(shí),由點(diǎn)P,Q的“肩三角形”面積為3可得PM=,
∴M(m+,6﹣m),Q(m+,6﹣﹣m)
∵拋物線=ax2+bx+c與點(diǎn)P,Q的“肩三角形”恰有兩個(gè)交點(diǎn),
∴,解得:3≤m≤6﹣,
綜上所述,m的取值范圍為:m=3﹣或3≤m≤6﹣.
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(1)若,直接寫出的大。ㄓ煤的式子表示).
(2)求證:.
(3)連接CF,用等式表示線段AF,BF,CF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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(1)如圖1,在ABCD中畫一條直線平分周長;
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(3)如圖3,在正方形ABCD中,E為CB上的任意一點(diǎn),在AB上截取一點(diǎn)F,使得BF=BE.
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(1)表中m= ,n= ;
(2)請?jiān)趫D中補(bǔ)全頻數(shù)直方圖;
(3)甲同學(xué)的比賽成績是40位參賽選手成績的中位數(shù),據(jù)此推測他的成績落在 分?jǐn)?shù)段內(nèi);
(4)選拔賽中,成績在94.5分以上的選手,男生和女生各占一半,學(xué)校從中隨機(jī)確定2名選手參加全市決賽,請用列舉法或樹狀圖法求恰好是一名男生和一名女生的概率.
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