Question

已知二次函數(shù)，其圖像拋物線交軸的于點A（1，0）、B（3，0），交y軸于點C.直線過點C，且交拋物線于另一點E（點E不與點A、B重合）.

(1)求此二次函數(shù)關系式；

(2)若直線經(jīng)過拋物線頂點D，交軸于點F，且∥，則以點C、D、E、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點E的坐標；若不能，請說明理由.

(3)若過點A作AG⊥軸，交直線于點G，連OG、BE，試證明OG∥BE.

 

 

Answer 1

（1）此二次函數(shù)關系式為：y=x2-4x+3；

（2）以點C、D、E、F為頂點的四邊形能成為平行四邊形；點E的坐標為（2+，2），（2-，2），（2+，4），（2-，4）．

（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由二次函數(shù)y=x2+bx+c，其圖象拋物線交x軸于點A（1，0），B（3，0），直接利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）以點C、D、E、F為頂點的四邊形構成平行四邊形，有兩種情形，分類討論即可；

（3）先過點E作EH⊥x軸于點H，設直線CE的解析式為：y=kx+3，然后分別求得點G與E的坐標，即可證得△OAG∽△BHE，則可得∠AOG=∠HBE，即可．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=x2+bx+c，圖象交x軸于點A（1，0），B（3，0），

∴，

解得：，

∴此二次函數(shù)關系式為：y=x2-4x+3；

（2）當CD為平行四邊形對角線時，過點D作DM⊥AB于點M，過點E作EN⊥OC于點N，

∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴點D（2，-1），點C（0，3），

∴DM=1，

∵l1∥l，

∴當CE=DF時，四邊形CEDF是平行四邊形，

∴∠ECF+∠CFD=180°，

∵∠OCF+∠OFC=90°，

∴∠ECN+∠DFM=90°，

∵∠DFM+∠FDM=90°，

∴∠ECN=∠FDM，

在△ECN和△FDM中，

，

∴△ECN≌△FDM（AAS），

∴CN=DM=1，

∴ON=OC-CN=3-1=2，

當y=2時，x2-4x+3=2，

解得：x=2±，

∴點E（2+，2）或（2-，2）；

當CD為平行四邊形一條邊時，

則EF∥CD，且EF=CD．

過點D作DM⊥y軸于點M，則DM=2，OM=1，CM=OM+OC=4；

過點E作EN⊥x軸于點N．

易證△CDM≌△EFN，∴EN=CM=4．

∴x2-4x+3=4，

解得：x=2±．

綜上所述，以點C、D、E、F為頂點的四邊形能成為平行四邊形；點E的坐標為（2+，2），（2-，2），（2+，4），（2-，4）．

（3）如圖，過點E作EH⊥x軸于點H，

設直線CE的解析式為：y=kx+3，

∵A（1，0），AG⊥x軸，

∴點G（1，k+3），

即OA=1，AG=k+3，

∵E是直線與拋物線的交點，

∴，

解得：，

∴點E（k+4，（k+1）（k+3）），

∴BH=OH-OB=k+3，EH=（k+1）（k+3），

∴，

∵∠OAG=∠BHE=90°，

∴△OAG∽△BHE，

∴∠AOG=∠HBE，

∴OG∥BE．

考點：二次函數(shù)綜合題．