Question

如圖，

a

，

b

是以點O為起點的兩個非零向量，且|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|=

3

，在圖中作

a

+

b

，2

a

+

b

，并求

a

+

b

的模長．

Answer 1

分析：如圖1：過點A作

AC

=

b

，連接OC，則

OC

即為所求；如圖2，作

DO

=

a

，過點A作

AC

=

b

，連接DC，則

DC

即為所求；
首先連接AB，由|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|=

3

，易得△OAB是等邊三角形，△OAC是等腰三角形，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得答案．

解答：解：如圖1：過點A作

AC

=

b

，
連接OC，
則

OC

=

a

+

b

，

OC

即為所求；

如圖2，作

DO

=

a

，
過點A作

AC

=

b

，
連接DC，
則

DC

=2

a

+

b

，

DC

即為所求；

連接AB，
則

AB

=

b

-

a

，
∵|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|=

3

，
∴OA=OB=AB=

3

，
∴∠AOB=60°，
∵

AC

=

OB

，
∴AC∥OB，AC=OB，
∴∠C=∠COB，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
∴∠C=∠AOC，
∴∠AOC=∠COB=

1

2

∠AOB=30°，
∴OD⊥AB，
∴OD=OA•cos∠AOD=

3

×

3

2

=

3

2

，CD=AC•cos∠C=

3

×

3

2

=

3

2

，
∴OC=3，
∴

a

+

b

的模長為3．

點評：此題考查了平面向量的知識、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意三角形法則的應(yīng)用．