Question

如圖△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度勻速移動，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度勻速移動．
①如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²？
②如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使△PBQ與△ABC相似呢？

Answer 1

分析：①設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²，得到BP=6-x，BQ=2x，根據(jù)三角形的面積公式得出方程

1

2

×（6-x）×2x=8，求出即可；
②設(shè)經(jīng)過a秒鐘，使△PBQ與△ABC相似，根據(jù)兩邊成比例并且夾角相等的兩三角形相似得到第一種情況

BP

AB

=

BQ

BC

和第二種情況

BP

BC

=

BQ

AB

，代入求出即可．

解答：①解：設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²，
BP=6-x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴

1

2

BP×BQ=8，
∴

1

2

×（6-x）×2x=8，
∴x₁=2，x₂=4，
答：如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過2或4秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²．

②解：設(shè)經(jīng)過a秒鐘，使△PBQ與△ABC相似，
∵∠B=∠B，
第一種情況：當(dāng)

BP

AB

=

BQ

BC

時(shí)，△PBQ與△BAC相似，
∴

6-a

6

=

2a

8

，
解得：a=2.4，
第二種情況：當(dāng)

BP

BC

=

BQ

AB

時(shí)，△PBQ與△ABC相似，
∴

6-a

8

=

2a

6

，
∴a=

18

11

，
答：如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過2.4或

18

11

秒鐘，使△PBQ與△ABC相似．

點(diǎn)評：本題主要考查對解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的理解和掌握，能求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵．