Question

如圖，AB是⊙O的直徑，直線EF切⊙O于點C，AD⊥EF于點D．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30°，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析：（1）首先連接OC，由直線EF切⊙O于點C，AD⊥EF，易證得OC∥AD，又由OA=OC，易證得∠DAC=∠BAC，即AC平分∠BAD；
（2）由AB是⊙O的直徑，易證得△OAC是等邊三角形，然后由勾股定理求得AD的長，又由S_陰影=S_梯形OCDA-S_扇形OCA，即可求得答案．

解答：（1）證明：連接OC，
∵直線EF切⊙O于點C，
∴OC⊥EF，
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠BAC，
即AC平分∠BAD；

（2）解：∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，
∴∠OCA=60°．
∵OC=OA，
∴△OAC是等邊三角形，
∵⊙O的半徑為2，
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°，
∵在Rt△ACD中，AD=

1

2

AC=1，
由勾股定理得：DC=

3

，
∴S_陰影=S_梯形OCDA-S_扇形OCA=

1

2

×（2+1）×

3

-

60•π•22

360

=

3 3

2

-

2

3

π
∴陰影部分的面積為：

3 3

2

-

2

3

π．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．