Question

（1）數(shù)學來源于生活又服務于生活，利用數(shù)學中的幾何知識可以幫助我們解決許多實際問題．李明準備與朋友合伙經(jīng)營一個超市，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)他家附近有兩個大的居民區(qū)A、B，同時又有相交的兩條公路，李明想把超市建在到兩居民區(qū)的距離、到兩公路距離分別相等的位置上，繪制了如圖一的居民區(qū)和公路的位置圖．聰明的你一定能用所學的數(shù)學知識幫助李明在圖上確定超市的位置！請用尺規(guī)作圖確定超市P的位置．（寫出已知、求作，作圖不寫作法，但要求保留作圖痕跡．）
（2）如圖二，O為平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，過點O作一條直線分別與AB、CD交于點M、N，點E、F在直線MN上，且OE=OF．
①圖中共有幾對全等三角形，請把它們都寫出；
②求證：∠MAE=∠NCF．

Answer 1

解：（1）已知：相交直線a、b，點A、點B．
求作：點P，使點P到直線a、b的距離相等，且PA=PB．
如圖所示：點P即為所求；


（2）①有4對全等三角形．
分別為△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA；

②∵在△OCF與△OAE中，
，
∴△OCF≌△OAE（SAS）．
∴∠EAO=∠FCO．
在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO．
∴∠EAM=∠NCF．
分析：（1）先畫角的平分線，再畫出線段AB的垂直平分線，兩線的交點就是P．
（2）①單個三角形全等的是：△AMO≌△CNO，△AME≌△CNF．由2部分組成全等的是：△OCF≌△OAE，△ABC≌△CDA；
②由題中已知條件可證得△OCF≌△OAE，進而求得∠EAO=∠FCO，而后利用平行四邊形的對邊平行的性質(zhì)求得相應的內(nèi)錯角相等，進而求解．
點評：（1）考查了作圖-應用與設計作圖，涉及到角的平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)；
（2）找三角形全等應有規(guī)律地去找，先找單個的全等三角形，再找由2部分或2部分以上組成全等的三角形．本題的難點在于利用平行四邊形的對邊平行的性質(zhì)得到一組內(nèi)錯角相等．