Question

高科技發(fā)展公司投資500萬(wàn)元，成功研制出一種市場(chǎng)需求量較大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金1500萬(wàn)元作為固定投資，已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本是40元．在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)定為100元時(shí)，年銷售量為20萬(wàn)件；銷售單價(jià)每增加10元，年銷售量將減少1萬(wàn)件，設(shè)銷售單價(jià)為x（元），年銷售量為y（萬(wàn)件），年獲利（年獲利=年銷售額一生產(chǎn)成本—投資）為z（萬(wàn)元）．
（1）試寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不寫(xiě)x的取值范圍）；
（2）試寫(xiě)出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不寫(xiě)x的取值范圍）；
（3）公司計(jì)劃，在第一年按年獲利最大確定銷售單價(jià)進(jìn)行銷售；到第二年年底獲利不低于1130萬(wàn)元，請(qǐng)借助函數(shù)的大致圖象說(shuō)明：第二年的銷售單價(jià)x（元）應(yīng)確定在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

（1）y=-x+30；（2）z=-x²+34x-3200；（3）第二年的銷售單價(jià)應(yīng)確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi).

解析試題分析：（1）依題意當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí)，年銷售量減少（x-100），則易求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）由題意易得Z與x之間的函數(shù)關(guān)系．
（3）根據(jù)z=（30-x）（x-40）-310=-x²+34x-1510=1130進(jìn)而得出當(dāng)120≤x≤220時(shí)，z≥1130畫(huà)出圖象得出即可．
試題解析：（1）依題意知，當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí)，年銷售量減少 (x-100)萬(wàn)件.
∴y=20-(x-100)=-x+30.
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是:y=-x+30.
（2）由題意，得：z=(30-)(x-40)-500-1500=-x²+34x-3200.
即z與x之間的函數(shù)關(guān)系式是:z=-x²+34x-3200.
(3)∵z=-x²+34x-3200=-(x-170)²-310.
∴當(dāng)x=170時(shí)，z取最大值，最大值為-310.
也就是說(shuō)：當(dāng)銷售單價(jià)定為170元時(shí)，年獲利最大，并且到第一年底公司還差310萬(wàn)元就可以收回全部投資.
第二年的銷售單價(jià)定為x元時(shí)，則年獲利為：
z=(30-x)(x-40)-310
=-x²+34x-1510.
當(dāng)z=1130時(shí)，即1130=-+34-1510.
整理，得x²-340x+26400=0.
解得x₁=120,x₂=220.
函數(shù)z=-x²+34x-1510的圖象大致如圖所示：

由圖象可以看出：當(dāng)120≤x≤220時(shí)，z≥1130.
所以第二年的銷售單價(jià)應(yīng)確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi).
考點(diǎn):二次函數(shù)的應(yīng)用.