Question

（2010•秀洲區(qū)二模）如圖（1）是某種臺(tái)燈的示意圖，燈柱BC固定垂直于桌面，AB是轉(zhuǎn)軸，可以繞著點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，AB=10cm，BC=20cm，圓錐形燈罩的軸截面△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°，且PQ∥AB．轉(zhuǎn)動(dòng)前，點(diǎn)A、B、C在同一直線(xiàn)上．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)AB，如圖（2）所示，若燈心A到桌面的距離AM=25cm，求∠ABC的大小；
（2）繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)AB，使AB⊥BC，求此時(shí)臺(tái)燈光線(xiàn)照在桌面上的面積？（假設(shè)桌面足夠大）

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)B作BD⊥AM于D，求出BD的長(zhǎng)度為5，因?yàn)锳B=10，所以∠ABD=30°，再加上90°就是∠ABC的度數(shù)；
（2）AB⊥BC時(shí)，光線(xiàn)照在桌面上的軸截面是等腰直角三角形，斜邊上的高等于BC的長(zhǎng)度20，所以光線(xiàn)所照部分圓的半徑為20，代入面積公式求解即可．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于D，
∵AM=25cm，
∴AD=5cm，
又∵AB=10cm，∠ADB=90°，
∴∠ABD=30°，
∴∠ABC=90°+30°=120°．

（2）∵AB⊥BC，
∴AM=20cm，
設(shè)AP，AQ與桌面交于E，F(xiàn)，△AEF為等腰直角三角形，AM為斜邊上的高，
∴ME=MF=20cm，
臺(tái)燈照在桌面上的最大面積為π•20²=400πcm²．
點(diǎn)評(píng)：本題為等腰三角形與直角三角形相結(jié)合的題目，需要用到30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的逆定理和等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．