Question

【題目】如圖，拋物線（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣5，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)E為x軸下方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)S△ABE=S△ABC時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E（﹣2，﹣5）；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；

（2）當(dāng)S△ABE=S△ABC時，可知E點(diǎn)和C點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在△CAE中，過E作ED⊥AC于點(diǎn)D，可求得ED和AD的長度，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，過P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，由條件可知△EDA∽△PQA，利用相似三角形的對應(yīng)邊可得到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，可得：，解得：，∴拋物線解析式為；

（2）在中，令x=0可得y=﹣5，∴C（0，﹣5），∵S△ABE=S△ABC，且E點(diǎn)在x軸下方，∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)和C點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，當(dāng)y=﹣5時，代入可得，解得x=﹣2或x=0（舍去），∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣5）；

（3）假設(shè)存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（m，），如圖，連接AP、CE、AE，過E作ED⊥AC于點(diǎn)D，過P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，則AQ=AO+OQ=5+m，PQ=，在Rt△AOC中，OA=OC=5，則AC=，∠ACO=∠DCE=45°，由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，∴AD=AC﹣DC==．當(dāng)∠BAP=∠CAE時，則△EDA∽△PQA，∴，即，∴或；

①當(dāng)時，整理可得，解得m=或m=﹣5（與A點(diǎn)重合，舍去）；

②當(dāng)時，整理可得，解得m=或m=﹣5（與A點(diǎn)重合，舍去），∴存在滿足條件的點(diǎn)P，其橫坐標(biāo)為或．