Question

（2012•威海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為B（2，1），且過(guò)點(diǎn)A（0，2），直線y=x與拋物線交于點(diǎn)D，E（點(diǎn)E在對(duì)稱軸的右側(cè)），拋物線的對(duì)稱軸交直線y=x于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)G，EF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，點(diǎn)P在拋物線上，且位于對(duì)稱軸的右側(cè)，PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，△PCM為等邊三角形．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）試判斷CE與EF是否相等，并說(shuō)明理由；
（4）連接PE，在x軸上點(diǎn)M的右側(cè)是否存在一點(diǎn)N，使△CMN與△CPE全等？若存在，試求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)是（2，1），因而設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-2）²+1，把A的坐標(biāo)代入即可求得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)△PCM為等邊三角形，則△CGM中，∠CMD=30°，CG的長(zhǎng)度可以求得，利用直角三角形的性質(zhì)，即可求得CM，即等邊△CMP的邊長(zhǎng)，則P的縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式，即可求得P的坐標(biāo)；
（3）解方程組即可求得E的坐標(biāo)，則EF的長(zhǎng)等于E的縱坐標(biāo)，OE的長(zhǎng)度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的長(zhǎng)度可以求得，則CE的長(zhǎng)度即可求解；
（4）可以利用反證法，假設(shè)x軸上存在一點(diǎn)，使△CMN≌△CPE，可以證得EN=EF，即N與F重合，與點(diǎn)E為直線y=x上的點(diǎn)，∠CEF=45°即點(diǎn)N與點(diǎn)F不重合相矛盾，故N不存在．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-2）²+1，將點(diǎn)A（0，2）代入，得
a（0-2）²+1=2…1分
解這個(gè)方程，得a=

1

4

∴拋物線的表達(dá)式為y=

1

4

（x-2）²+1=

1

4

x²-x+2；…2分

（2）將x=2代入y=x，得y=2
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2）即CG=2…3分
∵△PCM為等邊三角形
∴∠CMP=60°，CM=PM
∵PM⊥x軸，
∴∠CMG=30°
∴CM=4，GM=2

3

．
∴OM=2+2

3

，PM=4…4分
將y=4代入y=

1

4

（x-2）²+1，得4=

1

4

（x-2）²+1
解這個(gè)方程，得x₁=2+2

3

=OM，x₂=2-2

3

＜0（不合題意，舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+2

3

，4）…5分

（3）相等…6分
把y=x代入y=

1

4

x²-x+2，得x=

1

4

x²-x+2
解這個(gè)方程，得x₁=4+2

2

，x₂=4-2

2

＜2（不合題意，舍去）
∴y=4+2

2

=EF
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4+2

2

，4+2

2

）
∴OE=

EF2+OF2

=4+4

2

又∵OC=

CG2+OG2

=2

2

…8分
∴CE=OE-OC=4+2

2

∴CE=EF…9分

（4）不存在．
假設(shè)x軸上存在一點(diǎn)，使△CMN≌△CPE，則CN=CE，∠MCN=∠PCE
∵∠MCP=60°，
∴∠NCE=60°
又∵CE=EF，
∴CN=EF…11分
又∵點(diǎn)E為直線y=x上的點(diǎn)，
∴∠CEF=45°，
∴點(diǎn)N與點(diǎn)F不重合．
∵EF⊥x軸，這與“垂線段最短”矛盾，
∴原假設(shè)錯(cuò)誤，滿足條件的點(diǎn)N不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，反證法，正確求得E的坐標(biāo)是關(guān)鍵．