Question

某課題研究小組就圖形面積問題進(jìn)行專題研究，他們發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：

（1）有一條邊對應(yīng)相等的兩個三角形面積之比等于這條邊上的對應(yīng)高之比；

（2）有一個角對應(yīng)相等的兩個三角形面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比；

…

現(xiàn)請你繼續(xù)對下面問題進(jìn)行探究，探究過程可直接應(yīng)用上述結(jié)論．（S表示面積）

  問題1：如圖1，現(xiàn)有一塊三角形紙板ABC，P₁，P₂三等分邊AB，R₁，R₂三等分邊AC．

經(jīng)探究知＝S_△ABC，請證明．

  

    問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q₁，Q₂三等分邊DC．請?zhí)骄?img width=96 height=33 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/2012/05/23/15/2012052315020633739131.files/image063.gif' >與S_{四邊形ABCD}之間的數(shù)量關(guān)系．

    問題3：如圖3，P₁，P₂，P₃，P₄五等分邊AB，Q₁，Q₂，Q₃，Q₄五等分邊DC．若

S_{四邊形ABCD}＝1，求．

 問題4：如圖4，P₁，P₂，P₃四等分邊AB，Q₁，Q₂，Q₃四等分邊DC，P₁Q₁，P₂Q₂，P₃Q₃

將四邊形ABCD分成四個部分，面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄．請直接寫出含有S₁，S₂，S₃，S₄的一個等式．

Answer 1

解：問題1：∵P₁，P₂三等分邊AB，R₁，R₂三等分邊AC，

      ∴P₁R₁∥P₂R₂∥BC．∴△AP₁ R₁∽△AP₂R₂∽△ABC，且面積比為1:4:9…………..2分

     ∴＝S_△ABC＝S_△ABC                                                  ……………..1分

問題2：連接Q₁R₁，Q₂R₂，如圖，由問題1的結(jié)論，可知

     ∴＝S_△ABC ，＝S_△ACD

     ∴＋＝S_{四邊形ABCD}        ……………..2分

     由∵P₁，P₂三等分邊AB，R₁，R₂三等分邊AC，Q₁，Q₂三等分邊DC，

     可得P₁R₁:P₂R₂＝Q₂R₂:Q₁R₁＝1:2，且P₁R₁∥P₂R₂，Q₂R₂∥Q₁R₁．

     ∴∠P₁R₁A＝∠P₂R₂A，∠Q₁R₁A＝∠Q₂R₂A．∴∠P₁R₁Q₁＝∠P₂R₂ Q₂．

      由結(jié)論（2），可知＝．

      ∴＝＋＝S_{四邊形ABCD}．…………..2分

   問題3：設(shè)＝A，＝B，設(shè)＝C，

         由問題2的結(jié)論，可知A＝，B＝．……..1分

  A＋B＝(S_{四邊形ABCD}＋C)＝(1＋C)．

   又∵C＝(A＋B＋C)，即C＝[(1＋C)＋C]．

    整理得C＝，即＝       ……………..2分

    問題4：S₁＋S₄＝S₂＋S₃．                      ………………….2分