Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，CH⊥AB于H，點(diǎn)P是線段CH上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接AP，BP分別與BC，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：AE=BF；
（2）以線段AE，BF和AB為邊構(gòu)成一個(gè)新三角形ABG（點(diǎn)E，F(xiàn)重合于點(diǎn)G），將△ABG和△ABC的面積分別記為S_△ABG和S_△ABC，如果存在點(diǎn)P使得S_△ABG=S_△ABC，求∠ACB的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）證得△ACP≌△BCP，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、等量代換知∠CAE=∠CBF，再來(lái)證得△ACE≌△BCF；最后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證明AE=BF；
（2）∠C的取值應(yīng)按直角，銳角，鈍角分情況進(jìn)行討論．

解答：證明：（1）∵△ABC是等腰△，CH是底邊上的高線，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△BCP．
∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．
∵∠ACE=∠BCF，∠CAE=∠CBF，AC=BC，
∴△ACE≌△BCF．
∴AE=BF．

（2）由（1）知△ABG是以AB為底邊的等腰三角形，
∴S_△ABC=S_△ABG．
∴AE=AC．
①當(dāng)∠ACB為直角或鈍角時(shí)，在△ACE中，不論點(diǎn)P在CH何處，均有AE＞AC，所以結(jié)論不成立；
②當(dāng)∠ACB為銳角時(shí)，∠A=90°-

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∠ACB，而∠CAE＜∠CAB，要使AE=AC，只需使∠ACB=∠CEA，
此時(shí)，∠CAE=180°-2∠ACB，
只須180°-2∠ACB＜90°-

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∠ACB，解得60°＜∠ACB＜90°．
（也可在△CEA中通過(guò)比較∠C和∠CEA的大小而得到結(jié)論）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；兩條線段在不同的三角形中要證明相等時(shí)，通常是利用全等來(lái)進(jìn)行證明．需注意已證得條件在以后證明中的應(yīng)用，以及分情況進(jìn)行討論等情況．