Question

如圖，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是AC上一點，AE⊥BD交BD的延長線于點E，且AE=BD，求證：BD是∠ABC的角平分線．

Answer 1

證明：延長AE、BC交于點F．
∵AE⊥BE，
∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC，
在△ACF和△BCD中，

∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
又AE=BD，
∴AE=EF．
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分線．
分析：延長AE、BC交于點F．根據(jù)等角的余角相等，得∠DBC=∠FAC；在△BCD和△ACF中，根據(jù)ASA證明全等，得AF=BD，從而AE=EF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得AB=BF，再根據(jù)等腰三角形的三線合一即可證明．
點評：此題綜合運用了全等三角形的判定以及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．