Question

已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，在直線BA上截取BF=2AF，EF交BD于點(diǎn)G，則=________．

Answer 1

或
分析：由平行四邊形的性質(zhì)易證兩三角形相似，但是由于點(diǎn)F的位置未定，需分類討論．分兩種情況：（1）點(diǎn)F在線段AB上時(shí)；（2）點(diǎn)F在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)．
解答：（1）點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，設(shè)EF與DA的延長(zhǎng)線交于H，
∵BC∥AD，
∴△EBF∽△HAF，
∴HA：BE=AF：BF=1：2，
即HA=BE
∵BC∥AD，
∴△DHG∽△BEG，
∴BG：DG=BE：DH
∵BC=AD=2BE，
∴DH=AD+AH=2BE+BE=BE，
∴BG：DG=2：5；
（2）點(diǎn)F在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)EF與DA的延長(zhǎng)線交于H，
∵BC∥AD，
∴△EBF∽△HAF，
∴HA：BE=AF：BF=1：2，
即HA=BE
∵BC∥AD，
∴△DHG∽△BEG，
∴BG：DG=BE：DH
∵BC=AD=2BE，
∴DH=AD+AH=2BE-BE=BE，
∴BG：DG=2：3．
故答案為：或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想；其中由相似三角形的性質(zhì)得出比例式是解題關(guān)鍵．注意：求相似比不僅要認(rèn)準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，還需注意兩個(gè)三角形的先后次序．