Question

如圖①，已知線段AB=8，以AB為直徑作半圓O，再以O(shè)A為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個動點（P與點A，O不重合），AP的延長線交半圓O于點D。

（1）判斷線段AP與PD的大小關(guān)系，并說明理由；

（2）連接PC，當∠ACP=60⁰時，求弧AD的長；

（3）過點D作DE⊥AB，垂足為E（如圖②），設(shè)AP=x，OE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）AP=PD,理由見解析; （2） ;（3）.

【解析】

試題分析：（1）AP=PD．理由如下：如圖①，連接OP．利用圓周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性質(zhì)證得AP=PD;

（2）由三角形中位線的定義證得CP是△AOD的中位線，則PC∥DO，所以根據(jù)平行線的性質(zhì)易求弧AD所對的圓心角∠AOD=60°，從而求出弧AD的長;

（3）分類討論：點E落在線段OA和線段OB上，這兩種情況下的y與x的關(guān)系式．這兩種情況都是根據(jù)相似三角形（△APO∽△AED）的對應(yīng)邊成比例來求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

試題解析：（1）AP=PD. 理由如下：

如圖①，連接OP，OD，

∵OA是半圓C的直徑，∴∠APO=90°，即OP⊥AD.

又∵OA=OD，∴AP=PD.

（2）如圖①，連接PC、OD.由（1）知，AP=PD.

又∵AC=OC，∴PC∥OD. ∴∠AOD=∠ACP=60°.

∵AB=8，∴OA=4.∴弧AD的長=.

（3）分兩種情況：

①當點E落在OA上（即0＜x≤時），如圖②，連接OP，則∠APO=∠AED．

又∵∠A=∠A，∴△APO∽△AED.∴.

∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4﹣y，∴.∴（0＜x≤）.

②當點E落在線段OB上（即＜x＜4）時，如圖③，

連接OP，同①可得，△APO∽△AED.∴.

∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，∴ .∴（＜x＜4）.

綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為.

考點：1.單動點問題;2.圓周角定理;3.等腰三角形的性質(zhì);4.三角形中位線定理;5.平行線的性質(zhì);6.弧長的計算;7.由實際問題列函數(shù)關(guān)系式;8.相似三角形的判定和性質(zhì);9.分類思想的應(yīng)用.