Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)F為弦AC的中點(diǎn)，連接OF并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

（1）求證：AC∥DE；
（2）若OA=AE=4，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OD過圓心，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，

∴OD⊥AC，

∵ED切⊙O于D，

∴OD⊥ED，

∴AC∥DE

（2）解：∵OD=OA=4，OE=OA+AE=8，

∴OD= OE，

∵在Rt△ODE中，OD= OE，

∴∠E=30°，

∵AC∥DE，

∴∠CAB=∠E=30°，

∴在Rt△OAF中，OF= AO=2，AF= OF=2 ，

∵F為AC中點(diǎn)，

∴AC=2AF=4

【解析】（1）由點(diǎn)F為弦AC的中點(diǎn)，ED切⊙O于D，可得OD⊥AC，OD⊥DE，繼而證得結(jié)論；（2）由OA=AE=4，易得∠E=30°，又由AC∥DE，利用三角函數(shù)的知識(shí)即可求得OF，AF的長(zhǎng)，繼而求得答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．