Question

已知：如圖，⊙O與⊙P相交于A、B兩點，點P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點A，CP及其延長線交⊙P于D、E，過點E作EF⊥CE交CB的延長線于F．
（1）求證：BC是⊙P的切線；
（2）若CD=2，CB=，求EF的長；
（3）求以BP、EF為根的一元二次方程．

Answer 1

解：（1）∵點P在⊙O上．連接PB，PA，
∵⊙O的弦AC切⊙P于點A，
∴∠CAP=90°．
∵四邊形APBC是⊙O的內接四邊形，
∴∠PBC=90°，即PB⊥CB．
∵B在⊙P上，
∴CB是⊙P的切線．

（2）∵CB是⊙P的切線，
∴CB²=CD•（CD+DE）．
∵CB=2，CD=2，
∴=2×（2+ED）．
∴DE=2．
∴CE=CD+DE=2+2=4．
∴在⊙P中，PD=PE=ED=1．
∵CP=3，CB=2，
∴BP=1．
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=∠CBP=90°，∠FCE=∠PCB．
∴△FCE∽△PCB．
∴．
∵CB=2，CE=4，BP=1，
∴．
∴EF=．

（3）∵EF+BP=+1，EF•BP=，
∴所求以EF，BP為根的一元二次方程是：x²-（+1）x+=0．
分析：（1）本題需作輔助線，再根據圓內接四邊形對角互補證明∠PBC是直角，從而可以確定CB是⊙P的切線；
（2）根據△FCE∽△PCB，則，由于CB是⊙P的切線，所以根據CB²=CD•（CD+DE），可以求得DE的長度，進而求得CE的長度；再求得BP的長度即可，在Rt△CPB中，CP=3，CB=2，則可求得BP的長度；
（3）由根與系數的關系可知：EF+BP=+1，EF•BP=則可確定一元二次方程．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．以及根與系數的關系．