Question

（2012•綿陽(yáng)）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=

1

2

，D是AC上一點(diǎn)，∠CBD=∠A，則sin∠ABD=（　�。�

• A．

  3

  5

• B．

  10

  5

• C．

  3

  10

• D．

  3 10

  10

Answer 1

分析：作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)相等的角的三角函數(shù)值相等即可得到

BC

AC

=

CD

BC

=

DE

AE

=

1

2

，設(shè)CD=1，則可以求得AD的長(zhǎng)，然后利用勾股定理即可求得DE、AE的長(zhǎng)，則BE可以求得，根據(jù)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系即可求解．

解答：解：作DE⊥AB于點(diǎn)E．
∵∠CBD=∠A，
∴tanA=tan∠CBD=

BC

AC

=

CD

BC

=

DE

AE

=

1

2

，
設(shè)CD=1，則BC=2，AC=4，
∴AD=AC-CD=3，
在直角△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

4+16

=2

5

，
在直角△ADE中，設(shè)DE=x，則AE=2x，
∵AE²+DE²=AD²，
∴x²+（2x）²=9，
解得：x=

3 5

5

，
則DE=

3 5

5

，AE=

6 5

5

．
∴BE=AB-AE=2

5

-

6 5

5

=

4 5

5

，
∴tan∠DBA=

DE

BE

=

3

4

，
∴sin∠DBA=

3

5

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的定義，以及勾股定理，正確理解三角函數(shù)就是直角三角形中邊的比值是關(guān)鍵．