Question

A、B、C、D四個(gè)城市恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，要建立一個(gè)公路系統(tǒng)，使每?jī)蓚�(gè)城市之間都有公路相通，并使整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)為最小，則這個(gè)公路系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)如何修建？

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖

專(zhuān)題：

分析：在正方形的內(nèi)部首先確定兩點(diǎn)，把這兩個(gè)點(diǎn)連接P，Q，然后把這兩個(gè)點(diǎn)分別與與A，B，C，D中的兩個(gè)點(diǎn)連接，即可構(gòu)成一個(gè)公路系統(tǒng)，然后利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，即可重新確定P，Q的位置即可．

解答：解：作等邊△ABE和等邊△CDF，等邊△BPM．

由于將曲線(xiàn)段用直線(xiàn)段代替，長(zhǎng)度不會(huì)增加，因此可以假定公路系統(tǒng)如第一個(gè)圖所示（必要時(shí)，P、Q兩點(diǎn)可以重合）．
如第二個(gè)圖所示，作等邊△ABE和△CDF，再作等邊△BPM．
易證△ABP≌△EBM，則AP=EM
從而AP+BP=EM+MP≥EP，當(dāng)且僅當(dāng)M在EP上時(shí)上式等號(hào)成立．
同理可證CQ+DQ≥QF
故AP+BP+PQ+CQ+DQ≥EP+PQ+QF≥EF，
當(dāng)且僅當(dāng)P、Q都在EF上時(shí)，上式等號(hào)成立．
易證當(dāng)∠ABP=∠BAP=30°時(shí)，M在EP上，
同理，當(dāng)∠DCQ=∠CDQ=30°時(shí)，CQ+DQ=QF．
故如第三個(gè)圖所示的情況時(shí)，AP+BP+PQ+CQ+DQ最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，以及三角形全等的判定，首先假設(shè)P，Q的位置，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短再確定P、Q的位置是基本的思路．