Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點D．
（1）求證：BC是⊙O切線；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證BC是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥BC即可．
（2）過點D作DE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的長，再通過證明△BDE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出AC的長．
解答：（1）證明：連接OD；
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠3．（1分）
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴∥AC．（2分）
∴∠ODB=∠ACB=90°．
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O切線．（3分）

（2）解：過點D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
由勾股定理得：，（4分）
∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC．（5分）
∴．
∴．
∴AC=6．（6分）
點評：本題綜合性較強，既考查了切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理得到BE的長，及相似三角形的性質(zhì)．