Question

如圖，以BC為直徑的⊙O₁與⊙O₂外切，⊙O₁與⊙O₂的外公切線交于點D，且∠ADC＝60°，過B點的⊙O₁的切線交其中一條外公切線于點A、若⊙O₂的面積為π，則四邊形ABCD的面積是________．

Answer 1

答案：
解析：

答案為：12． 　　分析：設(shè)⊙O2的半徑是R，求出⊙O2的半徑是1，連接DO2，DO1，O2E，O1H，AO1，作O2F⊥BC于F，推出D、O2、O1三點共線，∠CDO1＝30°，求出四邊形CFO2E是矩形，推出O2E＝CF，CE＝FO2，∠FO2O1＝∠CDO1＝30°，推出R＋1＝2(R－1)，求出R＝3，求出DO1，在Rt△CDO1中，由勾股定理求出CD，求出AH＝＝AB，根據(jù)梯形面積公式得出×(AB＋CD)×BC，代入求出即可． 　　解答：解：∵⊙O2的面積為π， 　　∴⊙O2的半徑是1， 　　∵AB和AH是⊙O1的切線， 　　∴AB＝AH， 　　設(shè)⊙O2的半徑是R， 　　連接DO2，DO1，O2E，O1H，AO1，作O2F⊥BC于F， 　　∵⊙O1與⊙O2外切，⊙O1與⊙O2的外公切線DC、DA，∠ADC＝60°， 　　∴D、O2、O1三點共線，∠CDO1＝30°， 　　∴∠DAO1＝60°，∠O2EC＝∠ECF＝∠CFO2＝90°， 　　∴四邊形CFO2E是矩形， 　　∴O2E＝CF，CE＝FO2，∠FO2O1＝∠CDO1＝30°， 　　∴DO2＝2O2E＝2，∠HAO1＝60°，R＋1＝2(R－1)， 　　解得：R＝3， 　　即DO1＝2＋1＋3＝6， 　　在Rt△CDO1中，由勾股定理得：CD＝3， 　　∵∠HO1A＝90°－60°＝30°，HO1＝3， 　　∴AH＝＝AB， 　　∴四邊形ABCD的面積是：×(AB＋CD)×BC＝×(＋3)×(3＋3)＝12． 　　點評：本題考查的知識點是勾股定理、相切兩圓的性質(zhì)、含30度角的直角三角形、矩形的性質(zhì)和判定，本題主要考查了學(xué)生能否運用性質(zhì)進行推理和計算，題目綜合性比較強，有一定的難度．

提示：

考點：相切兩圓的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；切線長定理．