Question

以Rt△AOB的直角邊OA、OB為y軸，x軸建立直角坐標(biāo)系，AO=b，BO=a，（a＞b），Q是邊OB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q不與B、O重合，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)．
（1）請(qǐng)寫出A、B的坐標(biāo)；
（2）若以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，這時(shí)的Q點(diǎn)能有幾個(gè)，請(qǐng)說明理由并分別求出相應(yīng)的Q點(diǎn)、P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OA、OB的值直接寫出A、B的坐標(biāo)即可；
（2）求出OP=PA=PB，推出∠ABO=∠POB，求出AB，有2種情況：①∠PQO=90°，②∠QPO=90°，根據(jù)相似三角形的判定推出即可，根據(jù)P為AB中點(diǎn)，求出P的坐標(biāo)即可，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出比例式，代入即可求出圖2中Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）A的坐標(biāo)是（0，b），B的坐標(biāo)是（a，0）．

（2）∵∠AOB=90°，P為AB中點(diǎn)，
∴AP=OP=PB，
∴∠POB=∠ABO．
如圖Q點(diǎn)有2個(gè)，
圖1中，PQ⊥OB，
則∠OQP=∠AOB=90°，
∵∠POB=∠ABO，
∴以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
∵PQ∥OA，
∴

PQ

OA

=

PB

AB

=

BQ

OB

=

1

2

，
∴PQ=

1

2

b，BQ=0Q=

1

2

a，
即P（

1

2

a，

1

2

b），Q（

1

2

a，0）；
圖2中，∠QPO=90°=∠AOB，
∵∠POB=∠ABO，
∴以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=

a2+b2

，OP=

1

2

a2+b2

，
∴

OQ

AB

=

OP

OB

，
∴

OQ

a2+b2

=

1 2 a2+b2

a

，
∴OQ=

a2+b2

2a

，
即P（

1

2

a，

1

2

b），Q（

a2+b2

2a

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．本題綜合性比較強(qiáng)，是一道具有代表性的題目．