【題目】如圖,C為圓O上一動點(不與點B重合),點T為圓O上一動點,且∠BOT=60°,將BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到BD,連接TD,當TD最大時,∠BDT的度數(shù)為_____.
【答案】7.5°
【解析】
作與圓O半徑相等的圓E,圓E與圓O的直徑AB相切與點B,連接TE并延長交圓E于點D,連接BD,作BC⊥BD,交圓O于點C,則BE⊥AB,在圓E上取一點F,連接TF、EF,則TE+EF>TF,由DE=EF,得出TD>TF,此時TD最大,易證△OBT是等邊三角形,得出∠OBT=60°,BT=OB=BE,求出∠EBT=90°+60°=150°,∠BET=(180°﹣150°)=15°,∠EDB=∠BET=7.5°,即可得出結(jié)果.
解:作與圓O半徑相等的圓E,圓E與圓O的直徑AB相切與點B,連接TE并延長交圓E于點D,連接BD,作BC⊥BD,交圓O于點C,如圖所示:
則BE⊥AB,
在圓E上取一點F,連接TF、EF,則TE+EF>TF,
∵DE=EF,
∴TD>TF,
∴此時TD最大,
∵OB=OT,∠BOT=60°,
∴△OBT是等邊三角形,
∴∠OBT=60°,BT=OB=BE,
∴∠BET=∠BTE,
∵BE⊥AB,
∴∠EBT=90°+60°=150°,
∴∠BET=(180°﹣150°)=15°,
∵ED=EB,
∴∠EDB=∠EBD,
∴∠EDB=∠BET=×15°=7.5°,
即∠BDT的度數(shù)為7.5°,
故答案為:7.5°.
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【題目】某校九年級數(shù)學興趣小組的學生進行社會實踐活動時,想利用所學的解直角三角形的知識測量教學樓的高度,他們先在點D處用測角儀測得樓頂M的仰角為30°,再沿DF方向前行40米到達點E處,在點E處測得樓頂M的仰角為45°,已知測角儀的高AD為1.5米,請根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)求此樓MF的高(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):,,)
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【題目】如圖,O的直徑AB長為12,點E是半徑OA的中點,過點E作CD⊥AB交O于點C、D,點P在上運動,點Q在線段CP上,且PQ=2CQ,則EQ的最大值是_________.
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【題目】如圖隧道的截面由拋物線和長方形構成,長方形的長是12m,寬是4m.按照圖中所示的直角坐標系,拋物線可以用y=表示,且拋物線上的點C到OB的水平距離為3m,到地面OA的距離為m.
(1)求拋物線的函數(shù)關系式,并計算出拱頂D到地面OA的距離;
(2)一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m,寬為4m,如果隧道內(nèi)設雙向車道,那么這輛貨車能否安全通過?
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【題目】圖中的小方格都是邊長為1的正方形,△ABC的頂點和O點都在正方形的頂點上.
(1)以點O為位似中心,在方格圖中將△ABC放大為原來的2倍,得到△A1B1C1;
(2)將△A1B1C1繞點B1順時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△A2B1C2;
(3)在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中,點A1的運動路徑長為 ,邊A1C1掃過的區(qū)域面積為 .
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【題目】如圖,張大爺用32米長的籬笆圍成一個矩形菜園,菜園一邊靠墻(墻長為15米),平行于墻的一面開一扇寬度為2米的門,張大爺還在菜園內(nèi)開辟出一個小區(qū)域存放化肥,兩個區(qū)域用籬笆隔開,并有一扇2米的門相連(注:所有門都用其它材料).
(1)設平行于墻的一邊長度為y米,垂直于墻的一邊長度為x米,直接寫出y與x的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)設此時整個菜園的面積為Sm2(包括化肥存放處),則S的最大值為多少?
(3)若此時整個菜園的面積不小于81m2(包括化肥存放處),結(jié)合圖象,直接寫出x的取值范圍.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦DE垂直平分半徑OA,C為垂足,弦DF與半徑OB相交于點P,連結(jié)EF、EO,若DE=,∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半徑;
(2)求圖中陰影部分的面積.
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【題目】如圖所示,在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是邊AD,CD上的點,AE=ED,DF=DC,連結(jié)EF并延長交BC的延長線于點G,連結(jié)BE.
(1)求證:△ABE∽△DEF.
(2)若正方形的邊長為4,求BG的長.
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