Question

（2005•山西）矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，0）、C（0，3），直線y=x與BC邊相交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=ax²+bx經(jīng)過D、A兩點(diǎn)，試確定此拋物線的表達(dá)式；
（3）P為x軸上方（2）中拋物線上一點(diǎn)，求△POA面積的最大值；
（4）設(shè)（2）中拋物線的對(duì)稱軸與直線OD交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，以Q、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，求符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知直線y=x與BC交于點(diǎn)D（x，3），把y=3代入等式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖拋物線y=ax²+bx經(jīng)過D（4，3）、A（6，0）兩點(diǎn)，把已知坐標(biāo)代入解析式得出a，b的值即可；
（3）當(dāng)S_△POA有最大值時(shí)，點(diǎn)P須位于拋物線的最高點(diǎn)．因?yàn)閍＜0可推出拋物線頂點(diǎn)恰為最高點(diǎn)；
（4）證明Rt△Q₁OM∽R(shí)t△CDO以及Rt△Q₂Q₁O≌Rt△DCO后推出CD=Q₁Q₂=4得出符合條件的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題知，直線y=x與BC交于點(diǎn)D（x，3）．（1分）
把y=3代入y=x中得，x=4，
∴D（4，3）；（3分）

（2）拋物線y=ax²+bx經(jīng)過D（4，3）、A（6，0）兩點(diǎn)，
把x=4，y=3；x=6，y=0，分別代入y=ax²+bx中，（4分）
得
解之得（5分）
∴拋物線的解析式為y=-x²+x；（6分）

（3）因△POA底邊OA=6，
∴當(dāng)S_△POA有最大值時(shí)，點(diǎn)P須位于拋物線的最高點(diǎn)，
∵a=-＜0，
∴拋物線頂點(diǎn)恰為最高點(diǎn)，（7分）
（8分）
∴S_△POA的最大值=×6×=；（10分）

（4）拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q₁，符合條件．
∵CB∥OA∠Q₁OM=∠CDO，
∴Rt△Q₁OM∽R(shí)t△CDO．x=-=3，該點(diǎn)坐標(biāo)為Q₁（3，0）．（11分）
過點(diǎn)O作OD的垂線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q₂，

∵對(duì)稱軸平行于y軸，
∴∠Q₂MO=∠DOC，
∴Rt△Q₂MO∽R(shí)t△DOC．
在Rt△Q₂Q₁O和Rt△DCO中
Q₁O=CO=3，∠Q₂=∠ODC，
∴Rt△Q₂Q₁O≌Rt△DCO．
∴CD=Q₁Q₂=4，
∵點(diǎn)Q₂位于第四象限，
∴Q₂（3，-4）．（12分）
因此，符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)，分別是Q₁（3，0），Q₂（3，-4）．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形面積的計(jì)算，二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．難度較大．