Question

將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為b的正方形GHEF如圖所示擺放在一起（a≥2b），連接BD，DF，F(xiàn)B，將正方形GHEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△BDF的面積的取值范圍是________．

Answer 1

a²-ab≤S_△BDF≤a²+ab
分析：過(guò)F作BD的垂線，設(shè)垂足為H，由于BD是定值，△BDF的面積最大，則FH最大，△BDF的面積最小，則FH最��；可據(jù)此畫出圖形，求出兩種情況下△FDH的面積，從而得到其取值范圍．
解答：
解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，正方形GHEF的邊長(zhǎng)為b，
∴BD=a，AF=b，
作FH⊥BD于H點(diǎn)，連接AF．則S_△BDF=×BD×FH（如圖2），
因?yàn)樾≌�方形AEFG繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，所以點(diǎn)F離線段BD的距離是變化的，即FH的長(zhǎng)度是變化的．
由于BD得長(zhǎng)度是定值，所以當(dāng)FH取得最大值時(shí)S_△BDF最大，當(dāng)FH取得最小值時(shí)S_△BDF最小．
所以當(dāng)點(diǎn)F離BD最遠(yuǎn)時(shí)，F(xiàn)H取得最大值，此時(shí)點(diǎn)F、A、H在同一條直線上（如圖3所示）；
當(dāng)點(diǎn)F離BD最近時(shí)，F(xiàn)H取得最小值，此時(shí)點(diǎn)F、A、H也在同一條直線上（如圖4所示）．
在圖3中，S_△BDF=BD×FH=×a（b+a）=ab+a²，
在圖4中，S_△BDF=BD×FH=×a（a-b）=a²-ab，
∴S_△BDF的取值范圍是：a²-ab≤S_△BDF≤a²+ab．
故答案為a²-ab≤S_△BDF≤a²+ab．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角，利用角的和差關(guān)系求解．