Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，直角三角尺的一條直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），另一條直角邊與BC相交于點(diǎn)Q，設(shè)AE的長(zhǎng)為xcm，BQ的長(zhǎng)為ycm．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）E點(diǎn)滑動(dòng)到何處，BQ最長(zhǎng)？最長(zhǎng)是多少？
（3）在（2）的情況下，猜想：以DQ為直徑的⊙O與AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1））根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠A=∠ABC=90°，求出∠ADE=∠BEQ，推出△ADE∽△BEQ，得出比例式，代入求出即可；
（2）得出頂點(diǎn)式y(tǒng)=-（x²-4x）=-（x-2）²+1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)x=2時(shí)，y的最大值是1，即可得出答案；
（3）連接DQ，取QD的中點(diǎn)O，連接OE，由（2）知AE=2，求出E為AB中點(diǎn)，根據(jù)梯形的中位線的性質(zhì)得出OE∥AD，推出OE⊥AB，根據(jù)切線的判定推出即可．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵∠DEQ=90°，
∴∠AED+∠QEB=90°，∠AED+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠BEQ，
∴△ADE∽△BEQ，
∴=，
∴=，
∴y=-x²+x（0＜x＜4）；

（2）∵y=-（x²-4x）=-（x-2）²+1，
a=-＜0，
∴函數(shù)有最大值，
當(dāng)x=2時(shí)，y的最大值是1，
∴當(dāng)AE=2時(shí)，BQ有最大值，最大值是1；

（3）以DQ為直徑的⊙O與AB的位置關(guān)系是⊙O與AB相切，
證明：
連接DQ，取QD的中點(diǎn)O，連接OE，
由（2）知AE=2，
∵AB=4，
∴BE=2=AE，
即E為AB中點(diǎn)，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD∥BQ，
∵O為DQ的中點(diǎn)，
∴OE是梯形ADQB的中位線，
∴OE∥AD，
∵∠A=90°，
∴∠OEB=∠A=90°，
即OE⊥AB，OE為⊙O半徑，
∴⊙O與AB相切．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，梯形的中位線，平行線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目難度偏大，對(duì)學(xué)生提出較高的要求．