Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣6mx+5與y軸的交點(diǎn)為A，與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)B（b，0），C（c，0）．
（1）當(dāng)b=1時(shí)，求拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，如圖，E（t，0）是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作平行于y軸的直線l與拋物線的交點(diǎn)為P．求△APC面積的最大值；

（3）當(dāng)c=b+n時(shí)，且n為正整數(shù)，線段BC（包括端點(diǎn)）上有且只有五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是整數(shù)，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)b=1時(shí)，將點(diǎn)B（1，0）代入拋物線y=x2﹣6mx+5中，得m=1，

∴y=x2﹣6x+5

（2）

解：如圖1中，直線AC與PE交于點(diǎn)F．

當(dāng)b=1時(shí)，求得A（0，5），B（1，0），C（5，0），可得AC所在的一次函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x+5，

∵E（t，0），

∴P （t，t2﹣6t+5），直線l與AC的交點(diǎn)為F（t，﹣t+5），

∴PF=（﹣t+5）﹣（t2﹣6t+5）=﹣t2+5t，

∴S△APC= ×（﹣t2+5t）5=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當(dāng)t= 時(shí)，面積S有最大值

（3）

解：①當(dāng)b整數(shù)時(shí)，n為整數(shù)，

∴n=4，c=b+4．則b，b+4是方程x2﹣mx+5=0的兩個(gè)根，分別代入方程中，

得b2﹣mb+5=0 ①，（b+4）2﹣m（b+4）+5=0 ②，

由①②可得b2+4b﹣5=0，解得b=1或﹣5（舍）；

或由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得 b（b+4）=5解得b=1或﹣5（舍）．

②當(dāng)b小數(shù)時(shí)，n為整數(shù)，∴n=5，c=b+5為小數(shù)，則b，b+5是方程x2﹣mx+5=0的兩個(gè)根，同樣可得b= 或 （舍棄）；

∴b=1或

【解析】（1）當(dāng)b=1時(shí)，將點(diǎn)B（1，0）代入拋物線y=x2﹣6mx+5中求出m，即可解決問題．（2）如圖1中，直線AC與PE交于點(diǎn)F．切線直線AC的解析式，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．（3）分兩種情形①當(dāng)b整數(shù)時(shí)，n為整數(shù)，可知n=4，c=b+4．則b，b+4是方程x2﹣mx+5=0的兩個(gè)根，分別代入方程中求解即可，②當(dāng)b小數(shù)時(shí)，n為整數(shù)，∴n=5，c=b+5為小數(shù)，則b，b+5是方程x2﹣6x+5=0的兩個(gè)根，
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．