【題目】問(wèn)題再現(xiàn):
數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,借助這種思想方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀并且具有可操作性.初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式,很多都可以通過(guò)表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋.
例如:利用圖形的幾何意義驗(yàn)證完全平方公式.
將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形的邊長(zhǎng)增加,形成兩個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)正方形,如圖所示:這個(gè)圖形的面積可以表示成:
或
∴
這就驗(yàn)證了兩數(shù)和的完全平方公式.
類比解決:
請(qǐng)你類比上述方法,利用圖形的幾何意義驗(yàn)證平方差公式.
(要求畫(huà)出圖形并寫出推理過(guò)程)
問(wèn)題提出:如何利用圖形幾何意義的方法證明?
如圖所示,表示1個(gè)1×1的正方形,即:,表示1個(gè)2×2的正方形,與恰好可以拼成1個(gè)2×2的正方形,因此:、、就可以表示2個(gè)2×2的正方形,即:而、、、恰好可以拼成一個(gè)的大正方形.
由此可得:.
嘗試解決:
請(qǐng)你類比上述推導(dǎo)過(guò)程,利用圖形的幾何意義確定:_______.(要求寫出結(jié)論并構(gòu)造圖形寫出推證過(guò)程).
問(wèn)題拓廣:
請(qǐng)用上面的表示幾何圖形面積的方法探究:_______.(直接寫出結(jié)論即可,不必寫出解題過(guò)程).
【答案】嘗試解決:;問(wèn)題拓廣:.
【解析】
嘗試解決:根據(jù)規(guī)律可以利用相同的方法進(jìn)行探究推證,由于是探究13+23+33=?肯定構(gòu)成大正方形有9個(gè)基本圖形(3個(gè)正方形6個(gè)長(zhǎng)方形)組成,如圖所示可以推證.
實(shí)際應(yīng)用:根據(jù)規(guī)律求大正方體中含有多少個(gè)正方體,可以轉(zhuǎn)化為13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2來(lái)求得.
嘗試解決:
如圖,A表示1個(gè)1×1的正方形,即1×1×1=13;
B表示1個(gè)2×2的正方形,C與D恰好可以拼成1個(gè)2×2的正方形,
因此B. C. D就可以拼成2個(gè)2×2的正方形,即:2×2×2=23;
G與H、E與F和I可以拼成3個(gè)3×3的正方形,即:3×3×3=33;
而整個(gè)圖形恰好可以拼成一個(gè)(1+2+3)×(1+2+3)的大正方形,
因此可得:13+23+33=(1+2+3)2=62.
故答案為:(1+2+3)2或62.
問(wèn)題拓廣:由上探究可知,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2,
又∵1+2+3+…+n=
∴13+23+33+…+n3==
故答案為:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知∠AED=∠C,∠1+∠2=180°.請(qǐng)說(shuō)明∠BEC=∠FGC
解:因?yàn)椤?/span>AED=∠C(已知),
所以________∥_______(_________________________________ )
得∠1=∠3( _______________________________ )
又∠1+∠2=180°(已知),
得∠3+∠2=180°(___________________________)
所以_______∥_______
所以∠BEC=∠FGC(___________________________)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將含30°角的直角三角尺ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°后得到△EBD,連接CD.若AB=4cm.則△BCD的面積為( )
A. 4 B. 2 C. 3 D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且AC平分∠EAB.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AB=6,AE=,求BD和BC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E(BE>EC),且BD=2.過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:DF為⊙O的切線;
(2)若∠BAC=60°,DE=,求圖中陰影部分的面積;
(3)若,DF+BF=8,如圖2,求BF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(3,4),B(2,0),C(8,0).
(1)請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形△A′B′C′,并寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo) ;
(2)請(qǐng)直接寫出:以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D、E、F分別是各邊的中點(diǎn),BH是AC邊上的高.
(1)求證:四邊形DBEF是平行四邊形;(2)求證:∠DFE=∠DHE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:方程組的解x為非正數(shù),y為負(fù)數(shù).
(1)求a的取值范圍;
(2)化簡(jiǎn)|a-3|+|a+2|;
(3)在a的取值范圍中,當(dāng)a為何整數(shù)時(shí),不等式2ax+x>2a+1的解為x<1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】要從甲、乙兩名同學(xué)中選出一名,代表班級(jí)參加射擊比賽. 現(xiàn)將甲、乙兩名同學(xué)參加射擊訓(xùn)練的成績(jī)繪制成下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖:
根據(jù)以上信息,整理分析數(shù)據(jù)如下:
平均成績(jī)(環(huán)) | 中位數(shù)(環(huán)) | 眾數(shù)(環(huán)) | 方差() | |
甲 | 7 | 7 | 1. 2 | |
乙 | 7. 5 | 4. 2 |
(1)分別求表格中、、的值.
(2)如果其他參賽選手的射擊成績(jī)都在7環(huán)左右,應(yīng)該選______隊(duì)員參賽更適合;如果其他參賽選手的射擊成績(jī)都在8環(huán)左右,應(yīng)該選______隊(duì)員參賽更適合.
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