Question

如圖，拋物線y=x²-x+a與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，其頂點在直線y=-2x上．
（1）求a的值；
（2）求A，B的坐標(biāo)；
（3）以AC，CB為一組鄰邊作?ACBD，則點D關(guān)于x軸的對稱點D′是否在該拋物線上？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)的求法得出頂點坐標(biāo)，再代入一次函數(shù)即可求出a的值；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式求出與x軸的交點坐標(biāo)即是A，B兩點的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出D點的坐標(biāo)，即可得出D′點的坐標(biāo)，即可得出答案．
解答：解：（1）∵拋物線y=x²-x+a其頂點在直線y=-2x上．
∴拋物線y=x²-x+a，
=（x²-2x）+a，
=（x-1）²-+a，
∴頂點坐標(biāo)為：（1，-+a），
∴y=-2x，-+a=-2×1，
∴a=-；

（2）二次函數(shù)解析式為：y=x²-x-，
∵拋物線y=x²-x-與x軸交于點A，B，
∴0=x²-x-，
整理得：x²-2x-3=0，
解得：x=-1或3，
A（-1，0），B（3，0）；

（3）作出平行四邊形ACBD，作DE⊥AB，
在△AOC和△BDE中
∵
∴△AOC≌△BED（AAS），
∵AO=1，
∴BE=1，
∵二次函數(shù)解析式為：y=x²-x-，
∴圖象與y軸交點坐標(biāo)為：（0，-），
∴CO=，∴DE=，
D點的坐標(biāo)為：（2，），
∴點D關(guān)于x軸的對稱點D′坐標(biāo)為：（2，-），
代入解析式y(tǒng)=x²-x-，
∵左邊=-，右邊=×4-2-=-，
∴D′點在函數(shù)圖象上．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出D點的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．