Question

如圖，在正方形ABCD中，如果點(diǎn)P是直線CD上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），連接PA，分別過B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足為E，F(xiàn)．

（1）請?jiān)谏厦鎴D中畫出不同情況下的草圖，并猜想BE，DF，EF這三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系；
（2）請?jiān)谏厦娴?個(gè)圖中選擇一個(gè)證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意作圖為：
BE，DF，EF這三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系是：
BE-DF=EF．

（2）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∴∠BAE+∠DAF=90°
∵⊥PA，DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°．
∴∠ADF+∠DAF=90．
∴∠BAE=∠ADF．
∵在△AEB和△DFA中，
，
∴△AEB≌△DFA（AAS），
∴BE=AF，AE=DF．
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF．
分析：（1）分為三種情況畫三個(gè)圖形，當(dāng)點(diǎn)P靠近D點(diǎn)時(shí)，如圖1，當(dāng)P點(diǎn)是CD的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，當(dāng)P點(diǎn)靠近C點(diǎn)時(shí)，如圖3，
通過觀察可以得出△AEB≌△DFA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以得出BE-DF=EF．
（2）由正方形的性質(zhì)可以得出AB=AD，∠BAD=90°，再由BE⊥PA，DF⊥PA就可以得出∠AEB=∠DFA=90°進(jìn)而可以證明△AEB≌△DFA，可以得出BE=AF，AE=DF，從而可以得出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查了作草圖的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答本題時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．