Question

在正方形ABCD中，將一塊直角三角板的直角頂點放在對角線AC的中點P處，將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交線段AB、BC于D、E兩點.如圖1是旋轉(zhuǎn)三角板后所得到圖形中的1種情況.

（1）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關系？并結(jié)合如圖1加以證明.

（2）若將三角板的直角頂點放在對角線AC上的M處，且AM∶MC＝2∶5，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數(shù)量關系？并結(jié)合如圖2加以證明.

Answer 1

解：（1）連結(jié)PB.因為四邊形ABCD是正方形，P是AC的中點，

所以CP＝PB，BP⊥AC，∠ABP＝∠ABC＝45°，

即∠ABP=∠ACB＝45°．           

又因為∠DPB+∠BPE＝∠BPE+∠CPE＝90°，

所以∠DPB＝∠CPE，即△PBD≌△PCE．

所以PD＝PE．            

（2）MD∶ME＝2∶5.

過點M作MF⊥AB，MH⊥BC，垂足分別是F、H，

所以MH∥AB，MF∥BC，即四邊形BFMH是平行四邊形.    

  因為∠B＝90°，

所以□BFMH是矩形．        

即∠FMH＝90°，MF＝BH．

因為BH：HC＝AM：MC ＝2：5，

而HC＝MH，所以＝2：5．

因為∠DMF+∠DMH＝∠DMH+∠EMH＝90°，

所以∠DMF＝∠EMH．因為∠MFD＝∠MHE＝90°，

所以△MDF∽△MHE，       

所以＝＝2：5．